derivaatta

Derivaatta on matematiikassa käytetty käsite, joka kuvaa funktion muutoksen nopeutta tietyllä kohdalla. Olkoot f: R → R, derivaatta f'(x) at x0 määritellään rajoitteena f'(x0) = lim_{h→0} (f(x0 + h) − f(x0)) / h, jos raja at x0 on olemassa. Tulkinta on usein tangenttisuoran kulmana käyrän kohdassa x0 ja siten myös hetkellinen muutoksen nopeus x:n muuttuessa.

Derivaattaa merkitään useilla tavoilla: f'(x), dy/dx tai Df(x). Jos derivaatta on olemassa pisteessä, funktio on yleensä jatkuva siellä; toisaalta jatkuvuus ei takaa derivaattaa. Derivaattoja voidaan laskea monin sääntöin: jos f(x) = x^n, niin f'(x) = n x^{n−1} (power-sääntö); summien derivoiminen tapahtuu summaamalla derivoidut osat; (uv)' = u'v + uv' (tuotepiirto), (g∘f)'(x) = g'(f(x)) · f'(x) (ketjusääntö).

Esimerkkejä: d/dx x^2 = 2x; d/dx sin x = cos x; d/dx e^x = e^x; d/dx ln x = 1/x (x > 0).

Sovelluksia on lukuisia: fysiikassa nopeus on paikkaa koskeva derivaatta, taloustieteessä marginaalinen kasvu, teknisissä optimointitehtävissä kriittiset pisteet löytyvätderivaatan nollakohdista, ja toinen derivaatta antaa tietoa käyrän konveksisuudesta tai konkavisuudesta sekä käytännön optimoimisesta. Derivaatta on perusväline analyysissä ja sovelletussa matematiikassa.