tiheysfunktiota

Tiheysfunktio on jatkuvan satunnaismuuttujan jakauman tiheyttä kuvaava funktio. Se on ei-negatiivinen ja integroitavissa siten, että ∫_{-∞}^{∞} f(x) dx = 1. Tiheysfunktio liittyy kertymäfunktioon F(x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt, joka antaa todennäköisyyden, että X on pienempi tai yhtä suuri kuin x.

Todennäköisyydet intervaleilla ilmaistaan tiheysfunktiolla: P(a ≤ X ≤ b) = ∫_{a}^{b} f(x) dx. Tiheysfunktio siis beskriver jakautumisen tiheyttä, eikä suoraan yksittäistä todennäköisyyttä ilman integrointia. Ominaisuuksiin kuuluu, että f(x) ≥ 0 kaikilla x ja kaikkien x:ien kokonaisintegraali on 1.

Huomioitavaa on, että tiheysfunktio on olemassa vain, jos jakauma on absoluuttisesti jatkuva Lebesgue-mittauksen suhteen. Diskreettien jakaumien kohdalla käytetään todennäköisyysmassafunktiota (massafunktio) eikä tiheysfunktiota. Sekoitusjakaumissa voi olla sekä tiheysfunktio että massafunktio osittain samanaikaisesti.

Esimerkkejä: normaalijakauman tiheysfunktio on f(x) = (1/(σ sqrt(2π))) exp(-(x-μ)^2/(2σ^2)). Uniformijakaumassa f(x) on 1/(b-a) kun x ∈ [a,b] ja 0 muuten. Monimuuttujien tapauksessa yhteistien tiheys f_X(x1, x2, ..., xn) määrittelee todennäköisyyden aleman alueen kautta: ∫ f_X(x) dx = 1.

Tiheysfunktio on perusväline kuvaamaan absoluuttisesti jatkuvia jakaumia ja niiden ominaisuuksia tilastotieteessä ja todennäköisyyslaskennassa.