todennäköisyyslaskennassa

Todennäköisyyslaskenta on matematiikan ala, joka tutkii ilmiöiden todennäköisyyksiä, satunnaisuutta ja niiden mallintamista. Perusmallintamiseen kuuluu näytetila Ω, tapahtumien joukko F sekä todennäköisyysmitta P: F → [0,1], joka noudattaa Kolmogorovin aksioomia: P(Ω) = 1, P(A) ≥ 0 ja additiivisuus disjunktien tapahtumien suhteen. Näin muodostuu systemaattinen kuva epävarmuudesta.

Satunnaismuuttuja X kuvaa tilan arvoa, ja sen jakauma määritellään joko jakaumafunktiolla P(X ≤ x) tai tiheysfunktiolla f_X. Diskreetit jakaumat, kuten binomiaalinen ja Poisson, sekä jatkuvat jakaumat, kuten normaali ja eksponentiaalinen, ovat yleisiä. Odotusarvo E[X] merkitsee keskimääräistä arvoa pitkällä aikavälillä, ja varianssi Var(X) mittaa hajontaa.

Keskeisiä käsitteitä ovat riippumattomuus ja ehdollinen todennäköisyys P(A|B). Bayesin lause kuvaa, miten ennakkotietoja päivitetään uusien havaintojen perusteella. Monimutkaisemmissa malleissa käytetään tilastollista päättelyä, estimointia ja inferenssia.

Tärkeät teoreetit ovat lain suuret luvut ja keskeinen rintama (central limit theorem), jotka kuvaavat satunnaisprosessin pitkän aikavälin käyttäytymistä ja jakaumien lähestymistä normaalijakaumaan.

Todennäköisyyslaskenta kattaa stokastiset prosessit kuten Markov-ketjut, Poisson- ja Brownin liikkeet sekä ajallisesti kehittyvät mallit. Sovelluksia ovat tilastollinen päättely, data-analyysi, riskinhallinta, finanssi, insinööri- ja luonnontieteellinen mallintaminen.

Historian juuret ulottuvat 1600-luvulle, ja sisälsivät kehittäjiä kuten Pascal ja Fermat; nykyinen axiomaatinen muoto muodostui 20. vuosisadan Kolmogorovin työn myötä.