normaalijakaumaan

Normaalijakauma on jatkuva todennäköisyysjakauma, joka esiintyy kellomaisena käyränä. Jakauma on täysin määritettävissä odotusarvolla μ (keskiarvo) ja keskihajonnalla σ. Se on symmetrinen ja tiivistyy μ:n ympärille.

Todennäköisyyden tiheysfunktio on f(x) = (1/(σ√(2π))) exp(-(x-μ)^2/(2σ^2)). Jos X noudattaa normaalijakaumaa N(μ, σ^2), niin muunnos Z = (X-μ)/σ tuottaa Z ~ N(0,1), eli standari normaalijakauma. Yleisesti kertaluontoisen muuttujan CDF on F(x) = Φ((x-μ)/σ). Suljettua yksinkertaista ilmaisua Φ:stä ei ole, mutta sitä käytetään laajalti erillisen erf-funktion kautta.

Keskeisiä ominaisuuksia ovat, että normaalijakauma on symmetrinen ja unimodaalinen sekä sijainnin ja skaalauksen suhteen invarianssi: jos X_i ~ N(μ_i, σ_i^2) ovat riippumattomia, summa ∑X_i on N(∑μ_i, ∑σ_i^2). Standardointi Z = (X-μ)/σ antaa Z:n, joka on N(0,1). Keskiluokan ja varianssin hallitseminen mahdollistaa helpon vertailun ja muuntelun.

Standardi normaalijakauma (Z ~ N(0,1)) on tilastollisten testien ja luottamuslauseiden perusta. Z-pisteitä käytetään z-testeissä ja z-taulukoissa, joiden avulla voidaan löytää todennäköisyyksiä ja kriittisiä arvoja.

Sovellukset ja rajoitteet: normaalijakaumaa käytetään laajasti mittausvirheiden, luonnollisten ilmiöiden ja tilastollisen päättelyn mallintamiseen (esim. konfidenssiväli, testit). Kaikki ilmiöt eivät kuitenkaan ole normaalijakautuneita; vinous, paksut hännät tai ei-yhtenäinen varianssi voivat rajoittaa sen käyttöä. Pienillä otoksilla voidaan tarvita t- tai muita malleja; suurilla otoksilla normaali approksimaatio on useimmiten riittävä.