normaalijakaumaa

Normaalijakauma, tai Gaussin jakauma, on jatkuva todennäköisyysjakauma, joka on symmetrinen ja kellomainen. Tiheysfunktio f(x) = (1/(σ√(2π))) exp(-(x-μ)^2/(2σ^2)), jossa μ on jakauman keskiarvo ja σ sen hajonta. Varianssi on σ^2. Kun μ=0 ja σ=1, kyseessä on standardin normaalijakauma.

Jakauman avulla voidaan määritellä todennäköisyys, että muuttuja X ottaa arvon jossain alueella. Muuttuja voidaan standardoida z = (x-μ)/σ, jolloin Z on standardin normaalijakauman arvo. CDF Φ(z) antaa P(X ≤ x).

Ominaisuuksia: symmetria μ:een nähden, kellomainen tiheys, inflection-pisteet kohdissa μ±σ. 68-95-99,7 -sääntö kertoo, että noin 68 prosenttia arvoista on välillä μ±σ, noin 95 prosenttia välillä μ±2σ ja noin 99,7 prosenttia välillä μ±3σ.

Sovelluksia: monien luonnonilmiöiden mittausvirheet ja monissa tilastollisissa menetelmissä oletetaan normaalijakaumaa. Parametrit μ ja σ voidaan estimoida otoskeskiarvolla ja otos hajonnalla. Normalisuuden arviointi tehdään QQ-plotilla sekä tilastoilla kuten Shapiro–Wilk tai Kolmogorov–Smirnov -testillä.

Historia: Normaalijakauman taustalla on Gauss, ja se on keskeinen käsite tilastotieteessä ja luotettavissa tilastollisissa laskuissa.