binomiaalinen

Binomiaalinen on adjektiivi, joka liittyy binomiaalisiin lausekkeisiin ja ilmiöihin. Matematiikassa binomiaalinen lauseke on polynomilauseke, jolla on tarkalleen kaksi termiä, esimerkiksi x^2 + y, 3a - 4b tai 2x + 5y^3. Näitä ilmentymiä käytetään laajasti algebrassa sekä erilaisissa laskelmissa.

Binomiaalilausekkeen n:nen potenssiin voidaan laajentaa binomiaalisen teoreeman mukaan: (x + y)^n = sum_{k=0}^n C(n,k) x^{n-k} y^k. Tässä C(n,k) on binomiaalikerroin, määritelty C(n,k) = n!/(k!(n-k)!). Näitä kertoimia esiintyy muun muassa Pascalin kolmiosta ja ne ovat keskeisiä yhdistelmien sekä polynomien laskennassa.

Binomiaalit aiheet ulottuvat myös todennäköisyysteoriaan. Binomiaalijakauma kuvaa menestyksien määrää n riippumattomissa Bernoulli-yrityksissä, joissa jokaisella kokeella on todennäköisyys p onnistua. Todennäköisyys saada k onnistumista on P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^{n-k}. Odotusarvo on np ja varianssi np(1-p). Tätä jakaumaa käytetään muun muassa laadunvalvonnassa, kliinisessä tutkimuksessa ja muissa kokeellisissa sovelluksissa.

Yhteenvetona binomiaalinen viittaa sekä kahden termin sisältävään polynomilausekkeeseen että niihin ilmiöihin, joissa todennäköisyydet ja kombinaatiot muodostavat binomiaalisen rakenteen.