todennäköisyysmitta

Todennäköisyysmitta (μ) on matemaattinen käsite measure-theoriassa, jolla määritellään todennäköisyydet tapahtumille. Sen kohde on pari (Ω, F), missä Ω on kokeen tulosavaruus ja F on σ-algebra Ω:n alkiosta muodostettu joukko tapahtumia (alijoukkoja Ω:sta). Todennäköisyysmitta μ on funktio μ: F → [0,1], joka täyttää seuraavat ominaisuudet: μ(A) ≥ 0 kaikille A ∈ F, μ(Ω) = 1, ja valikoitujen, erilleen olevien tapahtumien (A1, A2, ...) äärellä μ(∪i Ai) = Σi μ(Ai) (murtovalla additiviteetillä). Näin ollen μ antaa kokonaisuuden Ω todennäköisyyden 1 ja minkä tahansa tapahtuman todennäköisyyden lain mukaisesti.

Esimerkkejä: diskreetissä tapauksessa Ω on esimerkiksi juhlattu setti tuloksia ja jokaiselle yksittäiselle tulokselle on asetettu todennäköisyys; tapahtuman todennäköisyys on kaikkien sen yksittäisten tulosten todennäköisyyksien summa. Jatkuvissa malleissa, kuten [0,1] alueella, voidaan käyttää Lebesgue-mittausta, jossa μ([0,1]) = 1 ja tapahtumien todennäköisyyksiä lasketaan vastaavan mitta-arvon avulla. Yleisemmät esimerkit ovat erilaiset jakaumien mittaukset, kuten normaalijakauman tai eksponentiaalisen jakauman kuvaamat mittaukset, jotka ovat μ:n avulla määriteltyjä.

Todennäköisyysmitta yhdistää todennäköisyyslaskennan ja mittateorian. Satunnaismuuttuja X: Ω → R on μ- mitattava ja odotusarvo määritellään integraalina E[X] = ∫ X dμ. Muita keskeisiä käsitteitä ovat jakaumafunktio F_X(x) = μ({ω : X(ω) ≤ x}) ja pushforward-mittat X_∗μ(B) = μ(X^{-1}(B)) määriteltäessä μ:sta riippuvaa jakaumaa Borel-tyyppisillä joukkoilla.