Todennäköisyyslaskenta

Todennäköisyyslaskenta on matematiikan osa, joka tutkii satunnaisuutta sekä ilmiöiden todennäköisyyksiä, riippuvuuksia ja jakaumia. Sen keskeisiä käsitteitä ovat tapahtumat, todennäköisyydet sekä satunnaismuuttujat.

Perustana ovat Kolmogorovin aksioomat: todennäköisyys saa olla 0 tai suurempi, mutta ei yli 1; koejoukko Ω saa todennäköisyyden 1; ja useiden tapahtumien todennäköisyydet ovat additiivisia.

Satunnaismuuttuja on mitta, joka liittää koejoukon täysin reaalilukuihin. Sillä on jakauma, joka kuvaa arvojen todennäköisyyksiä. Diskreetit jakaumat kuten binomijakauma ja Poisson sekä jatkuvat kuten normaalijakauma, tasajakauma ja eksponentiaalinen ovat yleisiä malleja.

Ehdollinen todennäköisyys P(A|B) kuvaa tapahtuman A todennäköisyyttä, kun B on tapahtunut. Riippumattomuus tarkoittaa, että P(A∩B)=P(A)P(B). Bayesin lause yhdistää ennen ja jälkeen tiedon: P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B).

Odotusarvo ja varianssi mittaavat satunnaismuuttujan keskikohdan ja säännöllisyyden. Diskreetin X odotusarvo on sum x P(X=x), jatkuvan X odotusarvo integraali x f(x) dx; varianssi on odotusarvo (X−E[X])^2.

Suurten lukujen laki ja keskihajontateoreema ovat keskeisiä tuloksia, jotka kuvaavat pitkän aikavälin käyttäytymistä ja normaalijakauman esiintymistä suurissa otoksissa.

Sovelluksia ovat tilastotiede, riskianalyysi, finanssi, tekninen ja luonnontiede sekä tekoäly.

Historiallisesti todennäköisyyslaskenta sai alkunsa 1600-luvulla pelaamiseen liittyvissä ongelmissa (G. Pascal, B. Fermat). Moderni muodonsa sai Kolmogorovin aksioomien kautta vuonna 1933.