Todennäköisyydet

Todennäköisyydet kuvaavat, kuinka todennäköistä on, että jokin tapahtuma toteutuu. Niillä annetaan arvo välillä 0 ja 1, missä 0 tarkoittaa, ettei tapahtumaa voi toteutua ja 1 tarkoittaa, että tapahtuma tapahtuu varmasti. Usein todennäköisyys merkitään P(A) tai p.

Erilaiset tulkinnat selittävät, mitä todennäköisyys tarkoittaa. Klassinen tulkinta: jos kaikkien mahdollisten tulosten järjestys on tasavertainen, tapahtuman A todennäköisyys on suhteessa sen tapahtumia kuvaavien tulosten määrään. Frekventistinen/yleiskäyttö: todennäköisyys vastaa pitkän aikavälin suhteellista frekvenssiä. Subjektiivinen/bayesian: todennäköisyys heijastaa uskomusta tapahtuman toteutumisesta.

Aksioomiset periaatteet: P(E) ≥ 0; P(S) = 1, missä S on koko näytekokoelma; ja additiivisuus: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) sekä laajentuu useampiin tapahtumiin. Näiden avulla todennäköisyys toimii mittana suurelle määrälle tapahtumia.

Keskeisiä käsitteitä: ehdollinen todennäköisyys P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) jos P(B) > 0; riippumattomuus: P(A ∩ B) = P(A)P(B) jos A ja B ovat riippumattomia; jakaumat ja satunnaisvaihtelun kuvaus.

Esimerkkejä ja sovelluksia: kolikkoheitto, noppien tulokset, piirteiden ja riskien arviointi, tilastotiede ja tekoäly. Bayesin kaava, posteriori P(H|D) ∝ P(D|H)P(H), yhdistää a priori uskomukset havaintoihin. Todennäköisyydet muodostavat perustan ennustamiselle ja päätöksenteolle epävarmuuden hallinnassa.