Aksioomiset

Aksioomiset ovat systemaattinen lähestymistapa määritellä teoria asettamalla peruslauseet, aksioomat, joista muut väitteet johdetaan todistuksin. Toisin kuin määritelmät tai havainnot, aksioomat hyväksytään sellaisenaan. Aksioomiset koskevat sekä matematiikkaa että logiikkaa, ja ne voivat muodostua pienestä tai suuresta joukosta. Tavoitteena on, että aksioomien puitteissa voidaan todistaa teorian teoreemat.

Aksioomien ominaisuuksiin kuuluu usein riippumattomuus (yksittäisten aksioomien ei tulisi seurata muista kuin annetusta järjestelmästä) sekä johdonmukaisuus. Riippuvuudet, johdonmukaisuus sekä kysymykset täydellisyydestä tai epätäydellisyydestä ovat keskeisiä tekijöitä aksioomiston laadussa. Teorian semantiikkaa tutkitaan mallien avulla: malli on kokonaisuus, jossa aksioomat ovat totta, ja jossa teorian väitteet voivat vaihdella.

Esimerkkejä aksioomistoista ovat Peano-aksioomisto luonnollisille luvuille, Euclidien geometrian aksioomisto sekä ZFC-aksioomisto setille. Aksioomiset mahdollistavat matematiikan tarkan formalisoimisen ja todistettavuuden, mutta niiden valinta vaikuttaa teorian ominaisuuksiin. Gödelin epätäydellisyyslauseet osoittavat, että jokainen riittävän vahva, tehokkaasti muodollinen aksioomistö on osittain epätäydellinen.