eksponentiaalin

Eksponentiaalin käsite viittaa tavallisesti eksponentiaaliseen funktioon f(x) = a^x, missä perusluku a on suurempi kuin 0 ja ei ole 1. Kun a > 1, funktio kasvaa nopeasti; 0 < a < 1, se pienenee. Erityinen ja yleisimmin käytetty esimerkki on luonnollinen eksponentiaalifunktio f(x) = e^x, jossa perusluku on Eulerin luku e (~2,71828).

Eksponentiaalin ominaispiirre on suhteellinen kasvu tai häviö, joka on vakio riippumatta mittakaavasta. Tämä ilmenee derivaatassa: f'(x) = a^x ln(a). Erityisesti f(x) = e^x saa f'(x) = e^x. Eksponentiaalin käänteinen on luonnollinen logaritmi ln(x), jonka ominaisuus on, että ln(a^x) = x ln(a).

Eksponentiaalin sovelluksiin kuuluvat muun muassa populaation tai bakteerien kasvu, radioaktiivinen hajoaminen, kemiallisten reaktioiden eteneminen sekä korkoa korolle -ilmiöt rahoituksessa. Yleinen malli on differentiaaliyhtälö dN/dt = rN, jonka ratkaisu on N(t) = N0 e^{rt}.

Historia ja termistö: Luvun e rooli ja nimitys juontavat Euleriin; e ilmestyy usein rajojen kautta (1+1/n)^n. Eksponentiaalifunktio on läheisesti yhteydessä logaritmeihin, ja sen käänteisfunktio on ln. Eksponentiaalin käsite on keskeinen työkalu monissa luonnontieteissä ja taloustieteessä.