binomiaalin

Binomiaalin on suomenkielinen genetiivimuoto sanasta binomiaalinen, ja sillä viitataan matematiikassa kahden termin sisältäviin rakenteisiin sekä niihin ilmiöihin, joihin liittyvät binomiaalit polynomit ja niiden ominaisuudet. Termi juontaa juurensa latinan sanasta binomialis, joka tarkoittaa kahta termiä.

Binomiaalinen polynomi on polynomi, jossa on tarkalleen kaksi termiä. Esimerkkejä ovat a + b ja x^2 − y^2. Binomiaalisten rakenteiden tutkiminen liittyy siten sekä algebraan että combinatorikaan, ja niistä löytyy monia perusominaisuuksia.

Kohokohtia binomiaalin yhteydessä ovat binomiaalinen lause eli binomain lause (binomial theorem) ja binomiaalikertoimet. Binomiaalinen lause sanoo, että millä tahansa einegatiiviselle kokonaisluvulle n pätevässä lauseessa (x + y)^n voidaan laajentaa summaan: (x + y)^n = sum_{k=0}^n binom(n,k) x^{n−k} y^k, jossa binom(n,k) on binomiaalikerroin eli n valitsee k. Näiden kerrointen ominaisuuksia ovat symmetria binom(n,k) = binom(n,n−k) sekä yhteys Pascalin triangleen.

Binomiaalin käsitys esiintyy sekä algebrassa että todennäköisyystieteissä. Esimerkiksi binomiaalijakauma kuvaa menestyksen määrää toistuvissa riippumattomissa kokeissa tietyllä menestystodennäköisyydellä. Suomenkielessä termiä käytetään yleisesti kuvamaan sekä kahden termin polynomian piirteitä että niihin liittyviä teoreettisia tuloksia.