Binomiaalisten

Binomiaalisten polynomien käsite viittaa polynomeihin, jotka koostuvat täsmälleen kahdesta termistä, tavallisesti muodossa A + B tai A − B, joissa A ja B ovat monomeja tai pienempiä polynomeja. Esimerkkejä ovat x + 1, 3x^2 − 5, sekä 7x^3 + 2y^2. Binomiaalisten polynomien tutkiminen kuuluu algebran perustarpeisiin ja ne eroavat muun muassa monisanoisista polynomeista, kuten trinomialisista polynomeista, joissa on kolme termiä.

Binomiaalisen polynomin merkittävin tulos on binomiaalinen derivoa eli binomiaalinen Theorema. Se sanoo, että kun integroidaan tai potencialoidaan (a + b) n, sen laajennus voidaan kirjoittaa yhdistelmien avulla: (a + b)^n = sum_{k=0}^n C(n,k) a^{n-k} b^k, missä C(n,k) ovat binomiaalikertoimia eli "n valittua k". Nämä kertoimet muodostavat niin sanotun Pascalin kolonnan tai Pascalin kolmion, ja niitä voidaan laskea esimerkiksi rekursiivisesti: C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k), sekä C(n,0) = C(n,n) = 1.

Binomiaalikertoimet kertovat myös käytännön tulkinnan: C(n,k) ilmaisee tapausten määrän, joilla valitaan k esinettä n:stä, mikä tekee binomiaalisten laajennuksista keskeisiä kombinatorisessa kontekstissa. Tämä yhteys näkyy laajasti todennäköisyyslaskennassa ja kombinatorisessa laskennassa.

Laajennuksia ja sovelluksia on useita. Yhden termin laajennuksia käytetään, esimerkiksi (x + y)^n, ja niitä voidaan soveltaa polynomien jakamiseen, tekijöihin jakamiseen sekä differentiaalilaskentaan. Laajennukset kattavat myös epänegativeiden eksponenttien binomiaalisen sarjan sekä reaali- tai kompleksiarvojen tapauksia, joissa laajennus on äärellinen tai ääretön. Binomiaalisten perusidea pysyy kuitenkin polynomien kahdesta termistä ja niiden koeffisienteista.