stapgrootten

Stapgrootten is een term uit de wiskunde en praktijk van numerieke berekeningen die verwijst naar de increment tussen opeenvolgende punten in een gediscretiseerd domein. Het wordt vaak aangeduid met h, Δx of Δt, afhankelijk van of het gaat om een ruimtelijke stap (Δx) of een tijdstap (Δt). In tijdsafhankelijke modellen bepaalt Δt hoe fijn de tijdsopdeling is; in ruimtelijke modellen bepaalt Δx de afstand tussen knooppunten op een grid.

Rol en eigenschappen. De stapgrootte bepaalt de resolutie van de berekening: kleinere stappen leveren over het algemeen een hogere nauwkeurigheid op, maar vergen meer berekeningen. De fout van veel numerieke methoden schaalt met een macht van h, meestal een lokale fout O(h^p) en een globale fout O(h^p) voor een methode van orde p. Grotere stappen verminderen de rekentijd, maar kunnen de nauwkeurigheid schaden of zelfs leiden tot instabiliteit bij sommige algoritmen.

Stabiliteit. Voor expliciete methoden die differentiaalvergelijkingen oplossen vereist stabiliteit een maximum toelaatbare stapgrootte in verhouding tot de ruimtelijke discretisatie en karakteristieke snelheden van het probleem (bijv. de CFL-conditie). Bij impliciete methoden kan een grotere stap soms mogelijk zijn, maar ten koste van een hogere kost per stap.

Keuze en adaptie. De stapgrootte wordt gekozen om een evenwicht te vinden tussen nauwkeurigheid en efficiëntie en kan vast blijven of tijdens een berekening worden aangepast. Adaptieve stapgrootte-methoden, zoals hogere orde Runge-Kutta-methoden met foutcontrole, passen Δt aan om een gewenste foutgrens te halen.

Toepassingen. Stapgrootten staan centraal bij het oplossen van ODE’s en PDE’s met finitedifferentiatiemethoden of eindige elementen, bij numerieke integratie en in sommige data-acquisitie-contexten. In signaalverwerking komt de stapgrootte overeen met het interval tussen metingen, wat de bemonstering en mogelijke aliasing beïnvloedt.