standaardmetriciek

Standaardmetriciek is een term uit de wiskunde die verwijst naar de gebruikelijke metriek waarop een ruimte standaard wordt uitgerust. In veel contexten gaat het om de Euclidische metriek op R^n, die de afstand tussen twee punten x en y bepaalt via d(x,y) = sqrt(sum_i (x_i - y_i)^2). Afhankelijk van de context kan ook een andere metriek als standaard gelden, bijvoorbeeld de sup-norm (L∞) of andere p-normen (Lp).

Definitie en eigenschappen: Een metriek d op een verzameling X is een functie d: X×X → [0,∞) die voldoet aan de eigenschappen van definitie: d(x,y) = 0 iff x = y; symmetrie d(x,y) = d(y,x); en de driehoekongelijkheid d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z). Een standaardmetriek definieert doorgaans de standaard topologie op X: open en gesloten verzamelingen, convergentie van rijen en continuïteit van functies. Op R^n genereert de Euclidische metriek de gebruikelijke topologie; op R^n zijn de normen d_p onderling topologisch equivalent, wat betekent dat zij dezelfde convergentiecriteria en open sets opleveren.

Toepassingen en context: De standaardmetriciek dient als basis voor analyse, meetkunde en numerieke methoden. Ze bepaalt concepten zoals convergentie, continuïteit, diameter en afstandsberekeningen in ruimte- en geometrieproblemen. In onderwijs en literatuur wordt vaak gesproken over de standaardmetriciek op R^n of andere ruimtes wanneer men het basisafstandbegrip introduceert.

Zie ook: metriek, topologie, norm, Euclidische ruimte, Lp-metriek.