convergentiecriteria

Convergentiecriteria is de verzameling voorwaarden die bepalen of een numerieke methode convergeert naar een oplossing en/of wanneer een iteratief proces beëindigd mag worden. In veel wiskundige en computationele contexten dienen deze criteria om te beoordelen of een procedure correct en bruikbaar is en om een gewenste nauwkeurigheid vast te leggen.

In zuivere wiskunde en numerieke analyse worden convergentiecriteria vaak uitgedrukt als eigenschappen van de iteratiemapping G. Voor een vaste-puntiteratie x_{k+1} = G(x_k) convergeert x_k naar een x* met G(x*) = x*, onder aannames zoals contractiviteit. Een belangrijke klasse zijn contractieve kaartingen met Lipschitz-constant q < 1; dan bestaat er een unieke oplossing en |x_k - x*| ≤ (q^k/(1-q))|x_1 - x_0|. Bij lineaire systemen wordt convergentie vaak geëist door de spectrale radius van de iteratiematrix kleiner dan 1.

In de praktijk bestaan convergentiecriteria vaak uit stopregels: tol-criteria zoals |x_{k+1}-x_k| ≤ tol, residu-normen zoals ||b - Ax_k|| ≤ tol, of norm van de gradient ||∇f(x_k)|| ≤ tol, soms gecombineerd met een maximaal aantal iteraties.

Toepassingen omvatten reeksen algoritmen in numerieke algebra, oplossingsmethoden voor lineaire en niet-lineaire systemen, en optimalisatie; in statistiek en simulatie kunnen convergentie-diagnostieken zoals R-hat of effectieve steekproefgrootte worden toegepast om te beoordelen of Monte Carlo-schattingen stabiel zijn.

Beperkingen: convergentie garandeert vaak alleen asymptotische juistheid en kan snelheid en finite-tijd prestaties niet garanderen.