spredningsprocesser

Spredningsprocesser är fysiska eller biologiska processer där en kvantitet sprids genom rum eller över tid. Det kan vara kemiska ämnen, värme eller information. Spredningen beskrivs ofta av förändringen i koncentration eller intensitet samt av hur snabbt och i vilka riktningar spridningen sker. Processerna kan studeras på mikroskopisk nivå med slumpmässiga partikelrörelser och på makroskopisk nivå med differentialekvationer.

Den klassiska modellen bygger på Ficks lag. Fluxen j är ∝ gradienten: j = -D ∇c, där D är diffusionskoefficienten. Koncentrationens tidsutveckling följer ∂c/∂t = D ∇^2 c för konstant D. Dessa relationer används inom kemi, materialvetenskap, geovetenskap och miljövetenskap för att beskriva hur ämnen sprids.

På mikroskopisk nivå ses spredningen som slumpmässig vandring, ofta kallad Brownsk rörelse. I stokastiska modeller beskrivs diffusion med en stokastisk differentialekvation dX_t = μ dt + σ dW_t, vilket ger en sannolikhetsfördelning som uppfyller en Fokker-Planck-ekvation.

Det finns olika typer av spredningsprocesser. Normal diffusion följer t^(1/2)-skalning. Anomala diffusioner uppträder när spridningen är snabbare eller långsammare, exempelvis subdiffusion, superdiffusion eller Levy-spridningar, vilket kräver alternativa modeller.

Användningar finns inom flera fält: diffusion av kemikalier och värme i material, transport inom biologiska system, spridning av sjukdomar i epidemiologi samt informationsspridning och modeller i finans.

Numeriska metoder används för att lösa diffusionsproblem: finite difference- och finite element-metoder för PDE:n samt Monte Carlo-simuleringar för stokastiska modeller. Experimentell data används för att bestämma diffusionskoefficienter och välja lämplig modell.