differentialekvationer

Differentialekvationer är matematiska ekvationer som beskriver hur en eller flera storheter förändras över en variabel, vanligen tid. De kopplar samman en funktion med dess derivator. Differentialekvationer används för att modellera dynamiska system i fysik, biologi, ekonomi och teknik. De delas vanligtvis in i ordinära differentialekvationer (ODE) och partiella differentialekvationer (PDE).

En ordinär differentialekvation involverar en funktions derivator med avseende på en enda variabel. Ekvationen kallas förstahands- eller högre ordning beroende på den högsta derivatan. En linjär ODE har formen a_n y^(n) + ... + a_1 y' + a_0 y = g(x). ODE kan vara separabla, exakta eller linjära med konstant eller variabel koefficient. PDE involverar partialderivator och flera oberoende variabler, och används ofta för att beskriva lösningar i rum och tid.

Att finna lösningar kan vara analytisk eller numerisk. Analytiska metoder inkluderar separation of variables, integrerande faktor samt lösning av homogena linjära ODEs med karakteristiska ekvationer. För PDE är lösningar ofta mer komplexa och kräver specialtekniker eller antaganden. Numeriska metoder används för att approximera lösningar vid diskreta punkter, exempelvis Euler-metoden och Runge–Kutta-metoder. Viktiga begrepp är initialvillkor y(x0) = y0 eller randvillkor som styr hur lösningen bete sig utanför ett givet intervall.

Exempel och tillämpningar är breda: befolkningstillväxt modellerad med logistisk differentialekvation, kemiska reaktionshastigheter, mekaniska system och elektriska kretsar, värmetransport i material och fluiddynamik. Differentialekvationer ger en matematisk ram för att beskriva och analysera tids- eller rumsbaserade förändringar i olika system.