RungeKuttametoder

Runge-Kutta-metoderna är en familj av numeriska metoder för att lösa ordinära differentialekvationer av initialvärdestyp y' = f(t, y), med given startvärde y(t0) = y0. De beräknar en serie närmevärden till lösningen vid diskreta tidpunkter t_n = t0 + n h, där h är steglängden.

Metoderna kan vara explicit eller implicit. I en explicit Runge-Kutta-metod beräknas k-värden endast med tidigare k-värden, medan implicit RK-metoder kräver lösning av ett icke-linjärt system per steg. Metoderna definieras ofta via Butcher-tabeller där c_i är tidsfördröjningar, a_ij vikter och b_i koefficienter.

En vanlig explicit metod är RK4 (den fjärde ordningen), med fyra k-värden:

k1 = f(t_n, y_n)

k2 = f(t_n + h/2, y_n + h/2 k1)

k3 = f(t_n + h/2, y_n + h/2 k2)

k4 = f(t_n + h, y_n + h k3)

then y_{n+1} = y_n + h/6 (k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4).

RK-metoderna uppnår ordningen 1–4 i vanligt explicit form; högre ordningar kräver fler steg och olika konstruktioner.

För adaptiv steglängd används embedded-ekvivalenter som ger två feluppskattningar samtidigt, exempelvis RKF45, Cash–Karp och Dormand–Prince (DOPRI5). Detta gör det möjligt att reglera h för en bestämd lokalt truncationsfel.

Vid stela differentialekvationer är implicit RK-metoder ofta lämpligare, till exempel Radau IIA, Gauss-Legendre och Lobatto-metoder. De har ofta bättre stabilitetsegenskaper för stora steg.

Runge-Kutta-metoder används inom fysik, biologi, teknik och kemi för att simulera dynamiska system där exakta lösningar är opraktiska eller omöjliga att få. Metodens enkelhet och mångsidighet gör den till en grundsten i numerisk analys.