tidsutveckling

Tidsutveckling beskriver hur ett fysiskt systems tillstånd förändras över tiden. Den används inom många discipliner och bygger på de dynamiska lagar som styr rörelse, energi och informationsflöden i systemet. Att lösa tidsutvecklingen innebär vanligtvis att hitta hur tillståndet vid en given tidpunkt hänger samman med villkoren vid tidigare tidpunkter samt eventuella yttre krafter eller påverkan.

Klassisk mekanik: I klassisk mekanik eller i Lagrange- och Hamilton-formalismen beskrivs tillståndet av konfigurations- och rörelsemängdsvariablerna q_i och p_i. Tidsutvecklingen följer ekvationerna dq_i/dt = ∂H/∂p_i och dp_i/dt = -∂H/∂q_i, där H är systemets Hamiltonian. Lösningen kräver initialvillkor vid tiden t0. Små förändringar i initialvillkoren kan ge stora skillnader i resultatet (känslighet för initialvillkor).

Kvantemekanik: Tillståndet beskrivas av en kvanttillståndsvektor |ψ(t)⟩ i ett Hilbertrum. Tidsutvecklingen styrs av Schrödinger-ekvationen iħ d|ψ⟩/dt = H|ψ⟩, där H är Hamiltonoperatorn. Lösningen ges av tidsutvecklingsoperatorn U(t,t0) = exp(-iH(t-t0)/ħ), som är unitär och bevarar normen. I Schrödinger-bilden är tillståndet tidsberoende medan operatorerna är statiska; i Heisenberg-bilden är det tvärtom.

Öppna system och generella fall: Om systemet är omgivet av en miljö så kan tidsutvecklingen vara icke-enhetlig och beskrivs ofta med masterekvationer av Lindblad-typ eller med Fokker-Planck-liknande formalismer. Inom relativistiska teorier och kvantfältteori behandlas tidsutveckling med hänsyn till rumtidsstrukturen; i allmän relativitet påverkas tidskoordinaten av geometrin, vilket leder till olika sätt att formulera initialvillkor.

Sammanfattning: Tidsutveckling är en central komponent i dynamiska system och varierar i detalj beroende på teori, men gemensamt är att framtiden i regel följer av dagens tillstånd enligt de dynamiska ekvationerna och systemets begränsningar.