FokkerPlanckekvation

Fokker–Planck-likningen, også kjent som Fokker–Planck-ekvasjonen, er en partiell differensiallikning som beskriver tidsutviklingen av sannsynlighetsfordelingen for tilstanden til en stokastisk prosess. Den oppstår som forward-kolmogorov-likningen for en prosess som kan beskrives av en Langevin-ligning dx = a(x,t) dt + b(x,t) dW_t, der a er driftsfeltet og b betegner støyen.

I én dimensjon kan den tidsavhengige sannsynlighetsfunksjonen P(x,t) tilfredsstille:

∂P/∂t = - ∂(a(x,t) P)/∂x + (1/2) ∂^2( b(x,t)^2 P )/∂x^2.

Når man definerer D(x,t) = b(x,t)^2/2, blir det ofte skrevet som ∂P/∂t = - ∂(a P)/∂x + ∂^2(D P)/∂x^2. I flere dimensjoner er formen:

∂P/∂t = - ∑_i ∂(A_i P)/∂x_i + (1/2) ∑_{i,j} ∂^2 (B_{ij} P)/∂x_i ∂x_j,

hvor A_i er komponenter av drift og B_{ij} diffusjonsmatrisen.

Historisk ble likningen utviklet av Adriaan Fokker og Max Planck omkring 1914 som en kontinuerlig-tilstandsnærming av en master-ligning for stokastiske systemer og som en utvidelse av Brownsk bevegelse. Den er sentral i fysikk, kjemi, biologi og finans, og viser forbindelsen mellom stokaste prosesser og spredningen av sannsynligheter over tilstandsrommet. Den brukes til å finne tidsutviklingen av sannsynlighetsfordelingen, studere stationære løsninger og analysere effekten av støy i dynamiske systemer.