diffusjonsmatrisen

Diffusjonsmatrisen, eller diffusjonstensoren, er en matrise som beskriver hvordan ulike komponenter i et flerkomponentdiffusjonsprosess diffunderer som svar på spatial gradient. I et domene Ω ⊂ R^n og en konsentrasjonsvektor u(x,t) ∈ R^m er diffusive fluxen J = -D ∇u, og diffusjonsbidraget til utviklingsligningen er ∇·J = -∇·(D ∇u). Matrisen D(x,u,t) betegnes diffusjonsmatrisen. D_ij beskriver hvor mye gradienten til komponent j driver fluxen til komponent i. Hvis D er diagonal, diffunderes komponentene uavhengig av hverandre; avvikende innhold i andre posisjoner representerer kryssdiffusjon.

Egenskaper: For veldefinert diffusjon er D vanligvis symmetrisk og positiv semidefinit (D = D^T, z^T D z ≥ 0 for alle z). D kan avhenge av posisjon (D(x)) og/eller av konsentrasjon (D(u)). Ved reciprokyllov i nærheten av likevekt forventes symmetri (Onsager-relasjoner). Egenverdiene til D bestemmer diffusjonsretningene; positiv definithet gir en glattingseffekt og, under passende randbetingelser, et maks-prinsipplignende adferd.

Eksempler og spesialtilfeller: Enkeltspesiesdiffusjon gir en skalar D; flerspesis diffusjon gir et system ∂u/∂t = ∇·(D ∇u) + f(u) med D som en m×m-matrise. Et 2×2-eksempel er D = [D11 D12; D21 D22], hvor D12 = D21 i symmetriske tilfeller.

Anvendelser: Reaksjons-diffusjonssystemer i kjemi, biologi og økologi; materialvitenskap; forurensningsmodellering av grunnvann; diffusions-tensoravbildning i nevrovitenskap.

Grensebetingelser: Ingen-flux innebærer J·n = - (D ∇u)·n = 0 på ∂Ω.