semigroeptheorie

Semigroeptheorie is een tak van de algebra die zich bezighoudt met semigroepen: algebraïsche structuren bestaande uit een niet-lege verzameling S met een binaire bewerking die associatief is, oftewel (a*b)*c = a*(b*c) voor alle a, b en c in S. Een monoid is een semigroep met een identiteit element e waarmee e*x = x*e = x geldt voor alle x. Een groep is een monoid waarin elk element een inverse bezit. Semigroeptheorie onderzoekt structuren zonder vereiste inversen of identiteit en met name de combinatoriek en de algemene eigenschappen van zulke operaties.

Belangrijke concepten zijn onder meer de Green’s-relaties (L, R, J, H), die de structuur van een semigroup in equivalentieklassen verdeelt en daarmee de interne orde onthullen. Daarnaast spelen Rees-matrixsemigroepen en het begrip eenvoudige en volledig eenvoudige semigroepen een centrale rol in structurele resultaten. In de finiete semigroeitheorie is de Krohn–Rhodes-theorie een diep resultaat: elke finite semigroup is een homomorf afbeeldbare subsemigroup van een wreath product bestaande uit finite groepen en aperiodische semigroepen. De variëteitentheorie van semigroepen koppelt klassen van semigroepen aan klassen van formele talen via de Eilenberg-correspondentie, wat een brug slaat naar automata en formal languages.

Voorbeelden zijn onder andere de verzameling van woorden over een alfabet met concatenatie als bewerking (een vrije semigroup), en de natuurlijke getallen onder optelling (een semigroup; met 0 als identiteit tot een monoid). Matrixen onder matrixvermenigvuldiging vormen ook semigroepen. In de wiskundige analyse en theoretische computerwetenschap spelen topologische en dynamische varianten van semigroepen een rol, evenals toepassingen in formele talen en automaten via syntactische semigroepen.