selbstkonsistenten

Selbstkonsistenz bezeichnet die Eigenschaft eines formalen Systems, keine widersprüchlichen Ableitungen zu liefern. Formal bedeutet sie: Es gibt keine Formel φ, sodass aus den Axiomen des Systems sowohl φ als auch ¬φ ableitbar sind. Selbstkonsistenz bedeutet nicht notwendigerweise Vollständigkeit oder Richtigkeit aller Aussagen, sondern nur das Fehlen von Widersprüchen innerhalb des Systems.

In der Logik und Mathematik spielt der Begriff eine zentrale Rolle, weil er die Zuverlässigkeit des Systems unter Beweisstatus setzt. Gödel hat gezeigt, dass in vielen hinreichend starken formalen Systemen, die auch Arithmetik ausdrücken können, die Frage der eigenen Konsistenz außerhalb des Systems geprüft werden muss. Der zweite Unvollständigkeitssatz besagt grob, dass ein solches System seine eigene Konsistenz nicht beweisen kann, sofern es konsistent ist.

Relative Konsistenz ist eine weitere wichtige Idee: Man zeigt, dass eine Theorie T konsistent ist, indem man beweist, dass T in eine andere, als konsistent bekannte Theorie S übersetzbar oder interpretierbar ist. Dann gilt T als konsistent relativ zu S. Diese Sichtweise erlaubt es, Widerspruchsfreiheit in komplexen oder neuen Theorien durch Verankerung in etablierten Systemen zu sichern.

Beispiele und Anwendungen: Eine einfache Propositionallogik mit klaren Axiomen kann selbstkonsistent sein. In der Geschichte der Mathematik führte Russell’s Paradoxon zur Einsicht, dass naive Mengenlehre nicht selbstkonsistent ist. In der Physik spricht man gelegentlich von selbstkonsistenten Lösungskonfigurationen, in denen Gleichungen und Randbedingungen keine Widersprüche erzeugen.

Der Begriff dient der Abgrenzung zwischen wahrer Konsistenz und reinem Sinn der Widerspruchsfreiheit und ist wesentlich in Theorie, Modelltheorie und formaler Verifikation.