Unvollständigkeitssatz

Unvollständigkeitssatz, im Deutschen häufig Gödel’sche Unvollständigkeitssätze genannt, bezieht sich auf Kurt Gödels Ergebnisse aus dem Jahr 1931 zur Grenzen der formalen Mathematik. Sie zeigen, dass jede hinreichend starke, rekursiv axiomatizable Formalisierung der Arithmetik in einem konsistenten System nicht vollständig sein kann.

Erster Unvollständigkeitssatz: Für jedes konsistente System T, das stark genug ist, elementare Arithmetik auszudrücken, existiert eine Satz G im Symbolsystem von T, sodass weder G noch seine Negation in T beweisbar ist. Informell bedeutet dies, dass es wahre Aussagen außerhalb des Beweisumfangs des Systems gibt. Der Satz G lässt sich so konstruieren, dass er behauptet: „Dieser Satz ist nicht in T beweisbar.“ Unter der Annahme der Konsistenz von T ist G weder beweisbar noch widersprüchlich beweisbar.

Zweiter Unvollständigkeitssatz: Ein solches System T kann nicht seine eigene Konsistenz beweisen. Explizit: Wenn T konsistent ist, kann Con(T), die Behauptung der Konsistenz von T, nicht in T bewiesen werden. Damit scheitert auch der ursprüngliche Plan von Hilbert, die Mathematik durch ein vollständiges, sicheres finitistisches Fundament zu sichern.

Technisch beruhen die Sätze auf der Arithmetisierung der Syntax (Gödel-Codierung) und dem Diagonalbegriffssatz. Sie gelten für viele bekannte Systeme, etwa Peano-Arithmetik (PA) oder Zermelo-Fraenkel mit Observationen (ZFC), sofern sie effektiv axiomatisiert und hinreichend stark sind. Die Unvollständigkeitssätze haben grundlegende Auswirkungen auf Foundations-Diskussionen und zeigen, dass kein System alle mathematischen Wahrheiten entscheiden kann.