normentheorie

NormenTheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Normen in Vektorräumen befasst. Eine Norm ||·|| ist eine Abbildung von einem Vektorraum V in die nichtnegativen reellen Zahlen, die drei Axiome erfüllt: Positivität (||x||≥0 mit ||x||=0 genau dann, wenn x=0), Homogenität (||αx||=|α|·||x|| für alle Skalare α) und die Dreiecksungleichung (||x+y||≤||x||+||y||). Durch die Norm erhält man eine Metrik d(x,y)=||x−y||, die die Geometrie des Raums bestimmt und die Grundlage für Konvergenz, Stetigkeit und Vollständigkeit bildet.

Zentrale Konzepte von NormenTheorie sind Normäquivalenz, Dualnormen und der Dualraum. In endlichen Dimensionen sind alle Normen äquivalent. Die Dualnorm eines linearen Funktionals f∈V* wird definiert als ||f||* = sup{ |f(x)| : ||x|| ≤ 1 }. Der Einheitsball ist die Menge der Vektoren mit ||x|| ≤ 1 und spielt eine zentrale Rolle in der Geometrie normierter Räume.

Beispiele und Strukturen: Gängige Normen sind die euklidische Norm ||x||2, die p-Normen ||x||p (1 ≤ p < ∞) und die Maximumnorm ||x||∞. Operatornormen definieren sich als ||T|| = sup_{||x||≤1} ||Tx|| für lineare Abbildungen T: V → W. In der Normentheorie treten insbesondere l^p- und L^p-Räume sowie Räume wie C(K) als Beispiele normierter Räume auf.

Historisch entstand NormenTheorie aus der Entwicklung der Analysis im 20. Jahrhundert; wesentlich geprägt wurden sie durch die Arbeiten von Fréchet, Hölder, Minkowski und Banach, der vollständige normierte Räume formalisierte. Heute bildet NormenTheorie das Fundament der Funktionalanalysis, der Optimierung und der numerischen Analysis.

Anwendungen finden sich in der PDE-Theorie, der Approximationstheorie, der Statistik und der theoretischen Informatik, wo Normen zur Messung von Fehlern, Abweichungen und Größenordnungen verwendet werden.