Dualnormen

Dualnormen bezeichnet in der Funktional- analysis die Norm auf dem Dualraum X, der Menge aller stetigen linearen Abbildungen f: X → R bzw. C eines normierten Vektorraums X. Die Dualnorm eines solchen f wird definiert als

||f|| = sup{ |f(x)| : x ∈ X, ||x|| ≤ 1 }.

Sie entspricht dem Operatornorm von f und macht X zu einem normierten Raum. Aus dieser Definition folgt insbesondere die Ungleichung |f(x)| ≤ ||f|| · ||x|| für alle x in X.

Der Dualraum X besteht bereits aus stetigen linearen Funktionalen, und die Dualnorm misst, wie groß die Werte von f relativ zum Eingangsnormieren von x sein können. Im Allgemeinen ist X der topologische Dualraum, der mit der Dualnorm ausgerüstet ist und die Kontinuität von Funktionalen sicherstellt. In einem Hilbertraum gilt zudem das Riesz-Abbildungssatz: Es gibt ein eindeutiges y ∈ X, so dass f(x) = ⟨x, y⟩ ist, und ||f|| = ||y||. Diese Identifikation trifft allerdings im allgemeinen Banachraum nicht zu.

Beispiele: Für L^p-Räume gilt, dass der duale Raum L^p dem L^q-Raum entspricht mit 1/p + 1/q = 1 (p ∈ [1, ∞), q ∈ (1, ∞]). Speziell gilt L^1 ≅ L^∞ und L^∞ ≅ L^1. In endlichen dimensionen entspricht der Dualnorm der q-Norm, wenn der Originalraum mit der p-Norm ausgestattet ist (1/p + 1/q = 1). Dualnormen sind zentral in der Dualitätstheorie, Optimierung und der Beschreibung topologischer Eigenschaften von Funktionenräumen.