Dualitätstheorie

Dualitätstheorie bezeichnet in der Mathematik und in den Physiken einen Rahmen, in dem zwei Strukturen in einer gegenseitigen Beziehung stehen und Eigenschaften der einen aus der anderen abgeleitet werden können. Typischerweise unterscheidet man zwischen primalen und dualen Formen oder zwischen dualen Objekten wie Räumen, Funktionen oder Gruppen.

In der Mathematik erscheinen verschiedene Formen der Dualität. Die Dualraum-Konzeption in der linearen Algebra verbindet einen Vektorraum mit seinem Dualraum der linearen Abbildungen in den Grundraum. In der Analysis spielt die Fenchel- bzw. Legendre-Fenchel-Dualität eine Rolle, die Optimierungsprobleme in äquivalente Dualformen überführt. In der konvexen Optimierung beschreibt die Dualität das Verhältnis zwischen einem primalen Optimierungsproblem und einem dazugehörigen Dualproblem; unter bestimmten Regularitätsbedingungen gilt starke Dualität, sonst nur schwache Dualität.

Ein bekanntes Beispiel ist die lineare Programmierung. Das primalen Problem kann als Maximierung mit Nebenbedingungen formuliert werden, während das Dualproblem eine Minimierung mit transponierten Koeffizienten und entsprechenden Nebenbedingungen darstellt. Unter geeigneten Bedingungen erreichen beide Programme denselben Optimalwert, und Lagrange-Multiplikatoren liefern Informationen über die Randbedingungen.

In der Funktional- und Harmonischen Analysis gibt es weitere Dualitätstypen, etwa die Pontryagin-Dualität für lokal kompak­te Gruppen. In der Physik treten Dualitäten wie T-Dualität und S-Dualität in der Theorie der Strings und in der Elektrizitäts-Magnetismus-Dualität auf, wo physikalische Theorien unter bestimmten Transformationen äquivalent werden.

Dualitätstheorie dient der Strukturaufklärung, der Lösung von Optimierungsproblemen und dem Verständnis von Zusammenhängen zwischen scheinbar verschiedenen Modellen.