Normäquivalenz

Normäquivalenz bezeichnet das Verhältnis zweier Normen auf demselben Vektorraum. Zwei Normen ||·||_1 und ||·||_2 auf V heißen äquivalent, wenn es positive Konstanten c und C gibt, so dass für alle Vektor x in V gilt: c||x||_1 ≤ ||x||_2 ≤ C||x||_1. In diesem Fall induzieren die Normen dieselbe Topologie und liefern dieselben Begriffe von Konvergenz, Cauchy-Folgen und Vollständigkeit.

Folgen der Normäquivalenz: Wenn zwei Normen äquivalent sind, dann ist die Identitätsabbildung von (V, ||·||_1) nach (V, ||·||_2) stetig sowie umgekehrt; damit besitzen beide Normen dieselbe Topologie. Somit konvergieren Folgen und charakterisieren Cauchy-Folgen in der einen Norm genau wie in der anderen.

Wichtige Beispiele: In endlichen Vektorräumen sind alle Normen äquivalent. Insbesondere auf dem n-dimensionalen Raum R^n gilt: jede Norm ist äquivalent zu jeder anderen Norm; es existieren Konstanten, die die jeweiligen Ungleichungen erfüllen. In unendlichen Räumen kann die Normäquivalenz scheitern. Ein bekanntes Gegenbeispiel ist der Raum l^2 mit den Normen ||·||_2 und ||·||_∞: Für Vektoren der Form (1/√N, …, 1/√N, 0, …) mit N Einsen gilt ||x||_2 = 1, während ||x||_∞ = 1/√N → 0, wenn N wächst. Damit existiert kein positiver konstanten c > 0 mit c||x||_2 ≤ ||x||_∞ für alle x, weshalb die Normen nicht äquivalent sind.

Normäquivalenz spielt eine zentrale Rolle in der Funktional- und Topologie-Theorie, da sie sicherstellt, dass analytische Eigenschaften wie Konvergenz und Vollständigkeit unabhängig von der konkreten Norm bleiben.