Operatornormen
Operatornormen bezeichnet in der Funktionalanalysis die Norm auf dem Raum der beschränkten linearen Abbildungen zwischen Normräumen. Sei X und Y Normräume mit den Normen ||·||_X bzw. ||·||_Y, und sei T: X → Y linear und beschränkt. Die Operatornorm von T ist definiert als
||T|| = sup{||Tx||_Y : x ∈ X, ||x||_X = 1}.
Sie misst die maximale Ausdehnung, die T einem Vektor unter dem jeweiligen Normraum geben kann.
Wichtige Eigenschaften: T ist genau dann beschränkt, wenn ||T|| < ∞. Für alle x ∈ X gilt ||Tx||_Y ≤ ||T||
Beispiele und spezielle Fälle: Wenn A eine m×n-Matrix ist und als lineare Abbildung von (R^n, ||·||_p) nach
Allgemein gelten Operatornormen als Normen auf dem Raum B(X, Y der beschränkten Abbildungen). In endlicheren Dimensionen