Operatornormen

Operatornormen bezeichnet in der Funktionalanalysis die Norm auf dem Raum der beschränkten linearen Abbildungen zwischen Normräumen. Sei X und Y Normräume mit den Normen ||·||_X bzw. ||·||_Y, und sei T: X → Y linear und beschränkt. Die Operatornorm von T ist definiert als

||T|| = sup{||Tx||_Y : x ∈ X, ||x||_X = 1}.

Sie misst die maximale Ausdehnung, die T einem Vektor unter dem jeweiligen Normraum geben kann.

Wichtige Eigenschaften: T ist genau dann beschränkt, wenn ||T|| < ∞. Für alle x ∈ X gilt ||Tx||_Y ≤ ||T|| · ||x||_X. Die Operatornorm ist unter Komposition submultiplikativ, d.h. für T: X → Y und S: Y → Z gilt ||S T|| ≤ ||S|| · ||T||. Im Fall von endlichen Dimensionen definiert sie sich auch als Norm auf dem Raum der linearen Abbildungen.

Beispiele und spezielle Fälle: Wenn A eine m×n-Matrix ist und als lineare Abbildung von (R^n, ||·||_p) nach (R^m, ||·||_p) wirkt, dann ist ||A||_p die induzierte p-Norm, definiert als sup_{x ≠ 0} ||A x||_p / ||x||_p. Für p = 2 entspricht sie dem Spektralwert (der größten Singulärwert); p = ∞ ergibt sich aus der maximalen Zeilen-Summe; p = 1 aus der maximalen Spaltensumme. Im orthonormierten Fall ist ||A||_2 gleich der Quadratwurzel aus dem größten Eigenwert von A^T A.

Allgemein gelten Operatornormen als Normen auf dem Raum B(X, Y der beschränkten Abbildungen). In endlicheren Dimensionen sind Normen äquivalent; in der Analysis spielen sie eine zentrale Rolle bei Stabilität, Kondition und Konvergenzanalysen.