Normräume

Normraum ist in der Funktionalanalysis ein Vektorraum X über den reellen oder komplexen Zahlen, der mit einer Norm ||·|| ausgestattet ist. Diese Norm erfüllt Positivität: ||x|| ≥ 0 und ||x|| = 0 genau dann, wenn x = 0; Homogenität: ||αx|| = |α| ||x||; und Dreiecksungleichung: ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||. Die Norm induziert eine Metrik d(x, y) = ||x − y||, die die Topologie des Normraums bestimmt.

Ein Normraum heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in X gegen ein Element von X konvergiert. Solche Räume werden Banach-Räume genannt. Alle endlichen Dimensionen Normräume sind automatisch Banach-Räume.

Beispiele: Der Vektorraum R^n mit jeder Norm, z. B. der euklidische Norm ||x||2, die Supremumsnorm ||x||∞ oder allgemein die L^p-Normen ||x||p (1 ≤ p < ∞). Funktionsräume wie C(K) mit der Supremumsnorm oder L^p-Räume von Funktionen.

Der Dualraum X* besteht aus allen stetigen linearen Funktionalen auf X, ausgestattet mit der Operatornorm ||f|| = sup{ |f(x)| : ||x|| ≤ 1 }. Manche Normen stammen aus einem inneren Produkt; solche Räume nennt man Innere-Produkt-Räume. Auf endlicher Dimensionen sind alle Normen äquivalent, d. h. sie definieren dieselbe Topologie und dieselbe Eigenschaft der Vollständigkeit.