Normräumen

Normräume (auch Normierte Räume) sind fundamentale Objekte der funktionalen Analysis. Ein Normraum besteht aus einem Vektorraum V über dem Reellen oder Komplexen und einer Norm ‖·‖: V → [0,∞), die die Eigenschaften Positivität, Definitheit, Homogenität und Dreiecksungleichung erfüllt. Aus der Norm ergibt sich eine Metrik d(x,y)=‖x−y‖; damit ist ein Normraum automatisch als metrischer Raum mit entsprechender Topologie versehen. Eine Folge x_n konvergiert genau dann gegen x, wenn ‖x_n−x‖→0.

Ein Raum heißt vollständig, oder Banach-Raum, wenn jede Cauchy-Folge konvergiert. Viele klassische Räume sind Banach: R^n mit jedem p-Norm; L^p-Räume, z.B. L^p(M, μ), für 1≤p<∞; der Raum C(K) der stetigen Funktionen auf einer kompakten Menge K mit der Sup-Norm; die Sequenzräume ℓ^p.

Auf Normräume wirken lineare Abbildungen zwischen Normräumen. Eine lineare Abbildung T ist beschränkt (und damit stetig) genau dann, wenn ein Operatornorm ∥T∥ definiert ist, wobei ∥T∥=sup{‖Tx‖ : ‖x‖≤1}. Räume der Duale bestehen aus den stetigen linearen Funktionalen V*.

Normen, die durch ein inneres Produkt entstehen, nennen Normräume mit entsprechendem Innerem; Räume, die vollständig sind, heißen Hilberträume. Eine Norm erfüllt das Parallelogrammgesetz genau dann, wenn sie durch ein inneres Produkt entsteht.

Historisch bedeutend ist die Entwicklung durch Fréchet und später Banach, dessen Arbeiten die Grundlage der modernen Analysis bilden. Normräume bilden das konzeptionelle Gerüst sowohl der Funktionalanalysis als auch der angewandten Mathematik.