normalfördelningens

Normalfördelningen, ofta kallad Gaussfördelningen, är en kontinuerlig sannolikhetsfördelning som kännetecknas av sin symmetriska, klockformade kurva. Den definieras av två parametrar: medelvärde μ och standardavvikelse σ. Sannolikhetstätheten är f(x) = (1/(σ√(2π))) exp(−(x−μ)²/(2σ²)). Den standardiserade formen, där μ = 0 och σ = 1, kallas standardnormalfördelningen och betecknas Z. Dess täthetsfunktion är φ(z) = (1/√(2π)) exp(−z²/2) och dess kumulativa fördelningsfunktion Φ(z) ger sannolikheten att en normal variabel är mindre än z.

Egenskaperna hos normalfördelningen är bland annat att den är symmetrisk kring μ, unimodal och har variansen σ². Skewness är 0 och kurtosis är 3 (excess kurtosis 0). Arean under kurvan är lika med 1, vilket speglar att f(x) beskriver en fullständig sannolikhetsfördelning över hela x-axeln. Fördelningen bestämmer hur data tenderar att spridas kring medelvärdet.

Betydelse och användning: enligt centrala gränsvärdessatsen uppträder summor av många oberoende, identiskt fördelade variabler ofta som normalfördelade, vilket gör den till en referensmodell inom statistik. Normalfördelningen används för att modellera naturliga mätfel och många fenomen där små bidrag samverkar. Praktiska tillämpningar inkluderar konfidensintervall, hypotesprövning och standardisering av olika mätvärden (Z-skalans användning via Φ).

Begränsningar: inte alla data följer normalfördelningen. Avvikelser från normalitet kan påverka inferens särskilt vid små urval, och i sådana fall används alternativa fördelningar eller icke-parametriska metoder.