fördelningsfunktion

En fördelningsfunktion, ofta kallad kumulativ fördelningsfunktion (CDF), är en funktion F som beskriver sannolikheten att en slumpmässig variabel X antar ett värde mindre än eller lika med x: F(x) = P(X ≤ x). Den fullständiga informationen om distributionen av X återges av F, och varje sådan funktion motsvarar en unik sannolikhetsfördelning.

Egenskaper: F är icke-decreasing (monotonisk ökad eller konstant), 0 ≤ F(x) ≤ 1 för alla x, och gränserna är F(x)→0 när x→−∞ och F(x)→1 när x→+∞. Funktionen är dessutom högerkontinuerlig. Sannolikheter av intervall kan beräknas med P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a).

Kontinuerlig respektive diskret fördelning: Om X har en tätt definierad sannolikhetstäthet f kan F skrivas som F(x) = ∫_{−∞}^{x} f(t) dt och f = F′ där det är differentiellt. För diskreta variabler är F en stegliknande funktion där hoppens storlek vid x = x_i motsvarar P(X = x_i). Survivalfunktionen S(x) = 1 − F(x) anger P(X > x).

Exempel: X uniform på [0,1] har F(x) = 0 för x < 0, F(x) = x för 0 ≤ x ≤ 1, och F(x) = 1 för x ≥ 1. För X med standardnormalfördelning är F(x) Φ(x). Den empiriska fördelningsfunktionen Fn från ett data‑urval konvergerar mot F (Glivenko–Cantelli).

Allmän generaliseringer används för flervariabla fall via F_X(x1, …, xk) = P(X1 ≤ x1, …, Xk ≤ xk), och kvantiler kopplas till F via F^{-1}(p) = min{x: F(x) ≥ p}.