gränsvärdessatsen

Gränsvärdessatsen är en samling teorem inom matematisk analys som behandlar hur gränsvärden för sekvenser och funktioner uppför sig under olika operationer och transformationer. Den används för att bestämma gränser utan att behöva räkna upp varje term.

Centrala delar är gränsvärdeslagen: om lim a_n = A och lim b_n = B, då lim (a_n + b_n) = A + B och lim (a_n b_n) = AB. Om B ≠ 0 och lim b_n = B samt att lim a_n = A, så finns även lim (a_n / b_n) = A / B.

Sats om kontinuerliga avbildningar: om x_n → x och f är kontinuerlig vid x, då f(x_n) → f(x). Squeeze-satsen: om a_n ≤ b_n ≤ c_n för alla n, och a_n → α samt c_n → α, så även b_n → α. Monotona och begränsade sekvenser: om en sekvens är monotont avtagande eller ökande och begränsad har den ett gränsvärde.

Gränsvärdessatsen utgör grunden i mycket av analysen och används för att bevisa vidare resultat i kalkylrelaterade sammanhang, i bevarande av gränsvärden vid algebraiska operationer, och i funktioners kontinuitet. Flera beskrivningar varierar i detaljnivå, men kärnan är att gränsvärden beter sig förutsägbart under standardoperationer och funktioners sammansättningar.