Normalfördelningen

Normalfördelningen, ofta kallad Gauss-fördelningen, är en kontinuerlig sannolikhetsfördelning som är symmetrisk runt medelvärdet μ och har en karakteristisk klockform. Den uppträder ofta som modell för naturliga fenomen där små fel dominerar över större avvikelser.

Formellt definieras den av två parametrar: medelvärdet μ och standardavvikelsen σ (>0). Sannolikhetsdensiteten (pdf) är f(x; μ, σ) = (1/(σ√(2π))) exp(- (x-μ)^2 /(2σ^2)).

CDF: F(x) = P(X ≤ x) = Φ((x-μ)/σ), där Φ är standardnormalens CDF. Fördelningens stöd är hela reala tal; den har oändlig utbredning och är unimodal med högsta värde vid x = μ.

Standardnormalfördelningen har μ = 0 och σ = 1. Dess pdf är φ(z) = (1/√(2π)) exp(-z^2/2). Genom att standardisera X kan man använda tabeller och standardnormala nivåer.

Momenter: E[X] = μ och Var(X) = σ^2. Skewness är 0 och kurtosis är 3; fördelningen är helt bestämd av μ och σ.

Användning: Normalfördelningen används ofta som modell för mätfel och naturliga variationer, samt som grund i inferensstatistik. Enligt centralgränsvärdessatsen tenderar summor av oberoende, identiskt fördelade variabler att närma sig normalfördelningen när antalet observationer ökar. Parameteruppskattning görs vanligtvis med urvalets medelvärde och standardavvikelse.