multiplicativiteit

Multiplicativiteit is een eigenschap van sommige functies in de nummertheorie. Een arithmetische functie f: N → C is multiplicatief als f(1)=1 en f(mn)=f(m)f(n) geldt voor alle paren m,n met gcd(m,n)=1. Een functie is volledig multiplicatief (of geheel multiplicatief) wanneer f(mn)=f(m)f(n) voor alle m,n, dus zonder eis van relatief primeness.

Voorbeelden van volledig multiplicatieve functies zijn de constante functie f(n)=1, de identiteitsfunctie f(n)=n en functies zoals f(n)=n^k met een geheel getal k. Ook Dirichlet-tekens χ(n) zijn volledig multiplicatief. Voorbeelden van functies die multiplicatief maar niet volledig multiplicatief zijn, zijn onder andere de Euler-veelvoud (phi) en de Möbius-functie μ(n): zij voldoen aan f(mn)=f(m)f(n) wanneer gcd(m,n)=1, maar niet voor alle paren m,n.

Een belangrijke eigenschap van multiplicatieve functies is dat een getal n met priemfactorisatie n=∏ p_i^{a_i} volledig of multiplicatief kan worden opgebouwd uit de waarden op de priemmacht(en) f(p^k). Bij een multiplicatieve functie geldt f(n)=∏ f(p_i^{a_i}). Daardoor kunnen arithmetische functies worden bestudeerd via hun gedrag op priemgetallen.

Een centrale rol speelt multiplicativiteit ook in de analyse van Dirichlet-series en Eulerproducten. Voor een multiplicatieve f geldt vaak een factorisatie F(s)=∑_{n≥1} f(n)/n^s = ∏_p F_p(s), waarin F_p(s)=∑_{k≥0} f(p^k)/p^{ks}. Zo koppelt multiplicativiteit globale getaltheorie aan lokale priemdata en vormt het een fundamenteel instrument in de studie van verdelingen van priemgetallen en gerelateerde functies.