geodésicos

Los geodésicos son las trayectorias de longitud mínima entre dos puntos en una superficie o, más en general, en una variedad equipada con una métrica. En geometría diferencial, una geodésica es una curva cuyas tangentes se transportan paralelas a lo largo de la curva mediante la conexión afín definida por la métrica; equivalen a soluciones de las ecuaciones de geodésicas. En términos prácticos, son caminos que minimizan la longitud localmente y, a veces, también globalmente.

En superficies, una geodésica permanece en la superficie y generaliza la idea de una recta del plano. Por ejemplo, en una esfera las geodésicas son las grandes círculos; en un plano, son las rectas; en un cilindro, las geodésicas se representan como curvas que, al desenrollar la superficie, aparecen como líneas rectas.

El cálculo de geodésicas se obtiene resolviendo un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden que derivan de la conexión métrica. Estas ecuaciones pueden obtenerse variacionalmente como extremos del funcional de longitud. Las geodésicas también se estudian mediante la ecuación de Jacobi, que describe la desviación de geodésicas cercanas y revela el papel de la curvatura en su comportamiento.

Aplicaciones: planificación de rutas en navegación y cartografía; modelos en física y relatividad general, donde las trayectorias libres siguen geodésicas del espacio-tiempo; diseño y gráficos por computadora, ingeniería de superficies y estructuras geodésicas.

Historia: el concepto proviene de la geometría diferencial y la geodesia, con aportes de Gauss, Riemann y otros al desarrollo de las ecuaciones y métodos para calcularlas.