diameterverdelingen

Diameterverdelingen beschrijven de verdeling van de diameter van een verzameling of van een object onder een bepaald probabilistisch model. In de meetkunde is de diameter van een verzameling S in euclidische ruimte gedefinieerd als diam(S) = sup{ ||x - y|| : x en y ∈ S }. Voor een eindige verzameling punten is dit de maximale afstand tussen twee punten in de verzameling.

Een diameterverdeling ontstaat wanneer men een model heeft waarin S random is, bijvoorbeeld wanneer men n punten onafhankelijk en uniform kiest in een vorm zoals een eenheidsvierkant of een eenheidsrechterhoek, of wanneer men randomige vormen of polygonen beschouwt. De relevante vraag is dan hoe waarschijnlijk het is dat de diameter van de resulterende verzameling bepaalde waarden aanneemt. Doorgaans varieert de diameter tussen de afstand die twee uiterste punten binnen de gekozen vorm kunnen hebben en de maximale afstand die mogelijk is binnen die vorm (bijvoorbeeld sqrt(2) voor eenheidsvierkant en 2 voor eenheidscirkel).

Berekening en benaderingen: voor een gegeven finite set kan de diameter exact worden gevonden door alle parenpunten te evalueren, maar bij grotere sets is dit computationeel duur. Efficiënte technieken bestaan via de convexe omhullende en rotatiecalipers, die de paarpunten die de diameter bepalen identificeren. Voor stochastische modellen wordt de diameter meestal geschat door simulatie, of onderzocht via theoretische resultaten voor speciale vormen.

Toepassingen van diameterverdelingen komen voor in geometriacal analyses, clustering, analyse van ruimtelijke patronen en beeldverwerking, waar de spreiding van extreme afstanden tussen punten een cruciale rol speelt. Verwante concepten zijn de radius, de breedte en de minimale omtrekkende cirkel.