correlatiefuncties

Correlatiefuncties vormen functies die aangeven hoe sterk de afhankelijkheid tussen twee verschijnselen is bij verschillende vertragingen of verschuivingen in tijd of ruimte. Ze worden gebruikt in statistiek, signaalverwerking en natuurkunde om de structuur van afhankelijkheden in data of processen te beschrijven.

Autocorrelatiefunctie en cross-correlatiefunctie

De autocorrelatiefunctie (ACF) van een stochastisch proces X(t) geeft de samenhang tussen X(t) en X(t+τ) als functie van de vertraging τ. Voor een continu proces is dit R_X(τ) = E[X(t) X(t+τ)], en voor discrete tijd R_X[k] = E[X[n] X[n+k]]. De cross-correlatiefunctie meet de samenhang tussen twee processen X en Y en wordt gedefinieerd als R_XY(τ) = E[X(t) Y(t+τ)]. Bij een stationair proces hangt R alleen af van de vertraging.

Eigenschappen en interpretatie

Correlatiefuncties zijn meestal symmetrisch: R_X(τ) = R_X(-τ) voor reële signalen. R_X(0) geeft, afhankelijk van de nulgemiddelde veronderstelling, vaak de variatie of de totale energie van het signaal. De Fouriertransform van de autocorrelatiefunctie levert vaak de power spectral density op, die aangeeft hoe de variatie verdeeld is over frequenties. Correlatiefuncties kunnen ook genormaliseerd worden tot correlatiecoëfficiënten ρ(τ) = R_X(τ)/R_X(0), wat tussen -1 en 1 ligt.

Schatting en toepassingen

In praktijk worden steekproefcorrelaties geschat met r[k] = (1/(N−k)) ∑_{n=0}^{N−k−1} (x[n]− x̄)(x[n+k]− x̄) voor autocorrelatie, en r_xy[k] = (1/(N−k)) ∑ x[n] y[n+k] voor cross-correlatie. Toepassingen omvatten detectie van periodiciteit, ruisonderdrukking, systeemidentificatie en analyse van tijdreeksen in verschillende disciplines. Veralgemeningen bestaan voor niet-stationaire processen en time-varying correlaties.