continuetijdswandelmodellen

Continuetijdswandelmodellen (CTRWs) beschrijven stochastische processen waarin een deeltje sprongen uitvoert met willekeurige tijdsintervallen tussen opeenvolgende sprongen. De beweging wordt bepaald door twee verdelingen: ψ(t) voor de wachttijd tussen sprongen en λ(Δx) voor de spronglengte. Na elke sprong wordt een nieuwe wachttijd getrokken uit ψ en vervolgens een sprong uit λ. Het proces kan worden gezien als een renewal-proces en levert vaak niet-Markoviaanse dynamiek op door de variabiliteit van de wachttijden.

In de wiskundige behandeling wordt de Montroll-Weiss-verklaring gebruikt. In Fourier- en Laplace-ruimte ligt de relatie tussen de kansverdeling P(x,t) en de sprong- en wachttijdverdelingen vast. Een gebruikelijke formulering luidt: P(k,s) = [1 - ψ(s)] / s × [1 - ψ(s) Λ(k)]^{-1}, waarbij ψ(s) de Laplace-transformatie van ψ(t) is en Λ(k) de Fourier-transformatie van λ(Δx). Als ψ(t) een lange staartverdeling heeft met ψ(t) ~ t^{-1-α} (0<α<1), volgt subdiffusie met ⟨x^2(t)⟩ ∼ t^α. In die gevallen kan men een gegeneraliseerde diffusievergelijking afleiden, vaak een tijd-fractionele diffusievergelijking.

CTRWs onderscheiden zich van klassieke random walks doordat wachttijden tussen sprongen lange-tailed kunnen zijn en aging en zwakke ergodiciteitsbreking kunnen veroorzaken, afhankelijk van ψ. Als ψ een eindige verwachtingswaarde heeft, kan het lange-tijdtgedrag alsnog diffuus zijn in de traditionele zin.

Toepassingen van CTRWs bevinden zich onder meer in transport door amorfe materialen en poreuze media, contaminantverplaatsing in grondwater, diffusie in complexe biologische omgevingen en in sommige modellen van financiële markten.