continueigenschappen

Continueigenschappen is een begrip uit de wiskunde en verwante vakgebieden dat verwijst naar de eigenschappen die beschrijven hoe een object, functie of proces reageert op geleidelijke veranderingen van de input. In de meeste contexten gaat het om continuïteit: al dan niet zonder abrupte sprongen of onderbrekingen. De term wordt vaak gebruikt om de mate en de omstandigheden waaronder een functie ‘vloeiend’ reageert op veranderingen te beschrijven.

In de wiskundige context heeft continuïteit verschillende equivalenten en uitingsvormen. Een veelgebruikte definitie in metrische en topologische ruimten is: een functie f van een domein X naar Y is continu als de preimage van elke open verzameling in Y open is in X. Een andere veelgebruikte formulering is het limietbegrip: voor elk punt a in het domein geldt lim_{x→a} f(x) = f(a). Het sequentiële criterium zegt: als x_n → a dan geldt f(x_n) → f(a). Continuïteit is behoudend onder samenstelling: de samenstelling van twee continue functies is weer continu. Bovendien zijn de som, het verschil, de product en bij voldoende voorwaarden de breuk van continue functies continu. Uniforme continuïteit is een sterkere eigenschap waarbij de delta afhankelijk is van epsilon maar niet van het gekozen punt.

Verder heeft continuïteit talrijke gevolgen en toepassingen, bijvoorbeeld in integratie en differentiaalrekening, en in de topologie speelt de continuïteit van een kaart een centrale rol in de structuur van ruimten. Er bestaan ook sterkere vormen zoals Lipschitz-continuïteit, die direct leidt tot uniforme eigenschappen.