combinatiewonderverbanden

Combinatiewonderverbanden is een concept uit de combinatoriek dat verwijst naar een klasse van abstracte structuren waarin elementen zijn georganiseerd in een verzameling blokken met vastgelegde interacties. De naam is een combinatie van combinatie en verbanden en wordt gebruikt om systemen te beschrijven waarin symmetrie en intersectie een rol spelen in het ontstaan van globale eigenschappen uit lokale regels.

Een combinatiewonderverband bestaat uit een eindige verzameling V en een niet-lege verzameling W van niet-lege deelverzamelingen van V, de wonderblokjes. Er is een groep G van permutaties die zowel V als W behoudt. De structuur voldoet aan drie axioma's: (i) symmetrie: G handelt op V zodat alle elementen in gelijke mate voorkomen; (ii) sluiting onder doorsnede: voor elke B1, B2 in W geldt dat B1 ∩ B2, indien niet leeg, ook in W ligt; (iii) het wonder-axioma: voor elke partitionering van V in r delen bestaat er minimaal één B in W die elke deel van de partitionering raakt.

Relationele context: combinatiewonderverbanden generaliseren blokontwerpen en andere incidencestructuren en dienen als middel om te onderzoeken hoe globale structuur kan volgen uit lokale beperkingen. Ze hebben varianten die extra eisen aan grootte van V, blokken en de symmetrie stellen en kunnen worden gerelateerd aan concepten uit projectieve geometrie en coderingstheorie.

Toepassingen en constructie: in theorie en onderwijs worden combinatiewonderverbanden vaak geïntroduceerd via bouwstenen uit bestaande ontwerpen, waarna men symmetriegroepen en intersectie-eigenschappen toevoegt. Ze bieden een geschikt raamwerk voor discussies over ontwerpprincipes en kan dienen als inspiratie voor puzzels en netwerkanalyse. Vergelijkbare objecten zijn blokontwerpen en incidences geometrie.