codomänen

Codomäne (auch Zielmenge) bezeichnet in der Mathematik die Menge, in die eine Funktion f von einer Definitionsmenge X abbildet. Formal ist eine Abbildung f oft als f: X → Y geschrieben, wobei X der Definitionsbereich und Y die Codomäne ist. Die Codomäne sagt aus, welchen Wertebereich die Funktionswerte theoretisch annehmen dürfen.

Wichtig ist der Unterschied zwischen Codomäne und Bild (Wertebereich). Das Bild von f ist die Menge aller y in Y, die tatsächlich als f(x) für einige x in X entstehen, also f[X]. Das Bild ist immer eine Teilmenge von Y; es kann gleich Y sein (surjektiv) oder nur kleiner als Y.

Eine Funktion f ist genau dann surjektiv (auf Fächer), wenn jedes Element der Codomäne Y als Funktionswert vorkommt, d. h. f[X] = Y. In diesem Fall trifft die Abbildung jedes Zielwort auf, und das Bild entspricht der Codomäne.

Beispiele:

- f: R → R, f(x) = x^2. Codomäne ist R, Bild ist [0, ∞). Nicht surjektiv, da negative Werte nicht erreicht werden.

- g: Z → Z, g(n) = 2n. Codomäne Z, Bild ist die Menge der geraden ganzen Zahlen. Nicht surjektiv.

- h: R → R, h(x) = x. Bild ist ganz R, somit surjektiv.

In der Fachsprache wird Codomäne oft auch als Zielmenge der Abbildung bezeichnet. Die Begriffe Domain (Definitionsbereich), Codomäne, Bild und Surjektivität bilden zentrale Konzepte der Funktionslehre.