Funktionslehre

Funktionslehre, auch Funktionentheorie genannt, ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Funktionen als Abbildungen von einer Menge in eine andere befasst. Gegenstand ist das Verhalten von Funktionen und deren Eigenschaften, insbesondere Grenzwerte, Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit, Monotonie und Periodizität sowie die Behandlung von Folgen und Reihen von Funktionen, Funktionalgleichungen und Transformationen.

Typische Teilfelder sind die reelle Funktionslehre (Funktionen reeller Variablen) und die komplexe Funktionslehre, auch Funktionentheorie der komplexen Variablen genannt. Letztere untersucht analytische Funktionen, die Cauchy-Riemannsche Gleichung, Konformität und die Struktur von Funktionen in der komplexen Ebene. Die Funktionalanalytik betrachtet Funktionen als Elemente von Funktionsräumen, die sich mit Operatoren und Strukturen in topologischen Vektorräumen befassen.

Historisch entwickelte sich die Funktionslehre im 18. bis 20. Jahrhundert zu einem zentralen Teil der Analysis. Wichtige Impulse kamen von Cauchy, Weierstrass, Riemann und anderen, die formale Grenzwerte, Stetigkeit und Analytizität systematisierten. Anwendungen finden sich in Physik und Technik (Differentialgleichungen, Modellierung), in der Numerik und Statistik sowie in der theoretischen Informatik.

Hinweis: In der deutschen Fachsprache wird der eng verwandte Begriff Funktionentheorie oft speziell für die komplexe Analyse verwendet; die rein reelle Funktionslehre wird gelegentlich als Funktionslehre bezeichnet.

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