binômios

Binômios são expressões algébricas formadas por dois termos, isto é, por uma soma ou diferença de dois monômios. Em termos mais formais, um binômio pode ser escrito como a m1 ± a2 m2, onde a1 e a2 são coeficientes (em um anel ou campo) e m1, m2 são monômios distintos. Monômios, por sua vez, são produtos de coeficiente por variáveis elevadas a potências inteiras não negativas.

Pode haver binômios em uma única variável, como x^3 + 2x, ou em várias variáveis, como 3x^2y − 5xy^3. Se os dois termos tiverem o mesmo fator monomial, o binômio pode ser fatorado por meio de fatoração comum. Existem também identidades clássicas envolvendo binômios, como a diferença de quadrados a^2 − b^2 = (a − b)(a + b).

O teorema binomial, ou expansão binomial, descreve como expandir a potência de um binômio da forma (u + v)^n. A expansão envolve coeficientes chamados coeficientes binomiais, denotados geralmente por C(n, k) ou n escolhe k. A expressão é (u + v)^n = sum_{k=0}^n C(n, k) u^{n−k} v^k. Os coeficientes binomiais aparecem também na combinação de elementos, na triangulação de Pascal e em diversas aplicações de probabilidade e combinatória.

Coeficientes binomiais são dados por C(n, k) = n! / (k!(n−k)!). Binômios aparecem em várias áreas da matemática, incluindo fatoração, resolução de equações, expansão de potências e problemas de contagem em combinatória.