binômio

Binômio é uma expressão algébrica composta por duas parcelas, normalmente escrita na forma A + B ou A − B, onde A e B são termos algébricos. Quando um binômio é elevado a uma potência inteira não negativa, o resultado é uma expressão polinomial cujos coeficientes recebem o nome de coeficientes binomiais.

O teorema binomial descreve a expansão de (x + y)^n para qualquer inteiro n ≥ 0: (x + y)^n = sum_{k=0}^n {n choose k} x^{n-k} y^k, onde {n choose k} é o coeficiente binomial, definido como n!/(k!(n−k)!). Esses coeficientes aparecem de forma estruturada na linha correspondente de Pascal, e a propriedade de somar os coeficientes de uma linha resulta no próprio valor de 2^n.

Além da álgebra, o termo binomial aparece na estatística sob a distribuição binomial, que modela o número de sucessos em n ensaios independentes com a mesma probabilidade de sucesso p. A probabilidade de obter k sucessos é dada por P(X = k) = {n choose k} p^k (1−p)^{n−k}, para k = 0, 1, ..., n.

Existe ainda o conceito de binômio para expoentes não inteiros, através do teorema binomial generalizado, que utiliza coeficientes binomiais extendidos e resulta em séries infinitas. O conceito de binômio é fundamental na álgebra, na combinatória e na estatística, com aplicações que vão desde a expansão de expressões algébricas até a modelagem de fenômenos probabilísticos.