basisobjecten

Basisobjecten is een term die in verschillende wiskundige en computationele contexten wordt gebruikt om de elementen aan te duiden waaruit een basis bestaat. In de meeste literatuur worden deze elementen echter gewoon basisvectoren genoemd. Het begrip verwijst naar de fundamentele bouwstenen waarmee elk object van de betreffende structuur kan worden uitgedrukt.

In de lineaire algebra is een verzameling B = {b1, ..., bn} een basis van een vectorruimte V over een veld F als aan twee eigenschappen is voldaan: de vectoren b1, ..., bn zijn lineair onafhankelijk, en zij genereren de hele ruimte V (het span van B is V). De elementen van B worden vaak aangeduid als basisobjecten in de zin dat elk vectoreel object in V uniek kan worden geschreven als een lineaire combinatie v = a1 b1 + ... + an bn met scalairs ai in F.

Een veel gegeven voorbeeld is de standaardbasis in R^n, bestaande uit de n vectoren e1 = (1,0,...,0), e2 = (0,1,0,...,0), ..., en = (0,0,...,1). Andere bases leveren dezelfde ruimte op, maar met verschillende basisobjecten; basisvectoren zijn niet uniek en er bestaan oneindig veel mogelijke basissen voor een gegeven ruimte.

Belangrijke eigenschappen van basisobjecten zijn onder meer dat de dimensie van de ruimte gelijk is aan het aantal basisobjecten en dat coordinaten van een vector afhankelijk zijn van de gekozen basis. Veranderingen van basis hangen samen met invertibele lineaire transformaties en worden gebruikt om representaties te vereenvoudigen of te interpreteren.

Zie ook: vectorruimte, basis, lineaire onafhankelijkheid, verandering van basis, coordinaten.