aksiomatis

Aksiomatis adalah pendekatan dalam matematika, logika, dan filsafat yang menempatkan sebuah bidang studi pada landasan dasar melalui serangkaian pernyataan dasar yang diterima tanpa pembuktian lebih lanjut. Dalam konteks matematika dan logika, pendekatan ini dikenal sebagai teori aksiomatik atau sistem aksiomatik. Aksioma adalah pernyataan dasar yang dianggap benar tanpa justifikasi dalam kerangka sistem tersebut.

Tujuan utama aksiomatisme adalah menyediakan fondasi yang jelas untuk menurunkan teorema melalui pembuktian deduktif. Dari aksioma-aksioma itu, aturan inferensi membangun teorema-teorema yang dapat diuji konsistensinya dalam kerangka sistem. Sistem aksiomatik berisi himpunan aksioma dan mekanisme pembuktian yang menalar bahasa formal dan simbol-simbolnya.

Contoh terkenal meliputi Aksioma Peano untuk bilangan natural, Aksioma Hilbert dalam geometri, serta Teori himpunan ZF atau ZFC. Setiap sistem mengatur bahasa formal, aturan inferensi, dan tambahan asumsi untuk menghindari kontradiksi serta untuk menilai sifat-sifat objek matematika dalam kerangka itu.

Etimologi: kata aksiom berasal dari bahasa Yunani axíōn, berarti layak atau bernilai; aksiomatis berarti bersifat aksiomatik atau berlandaskan aksioma.

Kritik dan batasan: meskipun kuat, pendekatan ini memiliki batas. Teorema ketidakterlengkapan Gödel menunjukkan bahwa dalam sistem aksiomatik yang cukup kuat untuk aritmetika, tidak mungkin sistem tersebut konsisten dan lengkap secara bersamaan; ada pernyataan benar yang tidak dapat dibuktikan dalam sistem itu.

Penggunaannya luas, mencakup pembuktian teorema di matematika, analisis logika, desain bahasa pemrograman, dan metode formal dalam ilmu komputer. Aksiomatisme juga memengaruhi filsafat matematika dan pandangan tentang dasar ilmu pengetahuan.

Lihat juga: aksioma, teori aksiomatik, dasar matematika, pembuktian formal.