afstandsmetrik

Een afstandsmetrik, meestal kortweg metriek genoemd, is een wiskundige functie d: X × X → [0, ∞) die de afstand tussen twee elementen van een verzameling X vastlegt. Voor alle x, y en z in X gelden de drie basisvoorwaarden: d(x,y) ≥ 0, met d(x,y) = 0 precies wanneer x = y, d(x,y) = d(y,x) (symmetrie) en d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) (driehoekensongelijkheid).

Een verzameling X uitgerust met een metriek d noemt men een metrische ruimte (X,d). De metriek maakt het mogelijk om concepten als open ballen, convergentie en continuïteit te beschrijven via de afstand. Open ballen worden gedefinieerd als B(x,r) = {y in X | d(x,y) < r}.

Door de metriek wordt een topologie op X geïnduceerd, waardoor men begrippen van omgeving, limieten en volledigheid kunt beschrijven. Een reeks {x_n} convergeert naar x als d(x_n, x) → 0; een verzameling is gesloten als elke convergente reeks erin uitmondt; en X is compleet als elke Cauchy-reeks convergeert in X.

Voorbeelden van afstandenmetrieken zijn onder meer: de Euclidische metriek d_E(u,v) = sqrt(sum_i (u_i - v_i)^2) op R^n; de L1-metriek d_1(u,v) = sum_i |u_i - v_i|; de Chebyshev- of Linf-metriek d_∞(u,v) = max_i |u_i - v_i|; en de discrete metriek d(x,y) = 0 als x = y, anders 1.

Afstandsmetrieken vormen een fundamenteel instrument in analyse, meetkunde en gegevensanalyse. Ze ondersteunen afstandsgebaseerde concepten zoals clustering en classificatie en vormen de basis voor algoritmen die op basis van afstand werken.